Про кол-во фундаметнальных физ. постоянных, единиц измерения и "аналитические" числа

В физике есть какое-то количество физических постоянных и какое-то количество единиц измерения.
Эти количества неразрывно связаны между собой: мы можем сделать одну из фундаментальных постоянных безразмерной (положить равной единице), тогда у нас и на одну из единиц измерения станет меньше. Например, вместо лошадиной силы или калории появится Джоуль, который уже не самостоятельная единица измерения, а кг·м²/с².
Таким образом всякие многочисленные единицы измерения сводятся к нескольким основным. В принципе, можно было бы и скорость света в вакууме принять за единицу, и измерять время в м^-1. Но это уже было бы слишком неудобно в быту.

Если предположить познаваемость мира, то количество фундаментальных физических постоянных должно соответствовать количеству основных единиц измерения. А остальные физические постоянные, соответственно, уже не фундаментальны, а выводятся из основных, как, например, ускорение свободного падения можно вычислить, зная гравитационную постоянную и параметры земного шара. "Соответствовать" - это значит, либо быть таким же, либо фундаментальных физических постоянных может быть на одну меньше, чем единиц измерения, в зависимости от того, можем ли мы метр взять произвольным, или он определён законами мироздания, т.е. масштабируемы ли физические законы, возможно ли, например, вдвое увеличить метр, соответствующим образом изменив скорость течения времени, массу и т.п., чтобы всё осталось таким же, или нет.

Следующий возникающий вопрос: что значит "остальные физические постоянные можно математически вывести из основных"?
Вот есть два числа: "пи" и "масса электрона". Оба действительные. π - иррационально, трансцендентно; m_e - наверняка сказать трудно, скорее всего, тоже.
Но если в формуле, описывающей мироздание, число π воспринимается нормально, то число m_e - нет, это не математическое описание. Почему, как формализовать отличие между этими числами?
π - это сумма ряда рациональных чисел. Но m_e - это тоже сумма какого-то ряда рациональных чисел, поскольку каждое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел.

Можно определить "аналитическое число" или "математически познаваемое число" как число, которое можно записать математической формулой конечного размера (как сумма ряда или предел последовательности) - но какие символы можно использовать в этой формуле? Не получится ли парадокс, как с самым большим числом, которое можно описать фразой из не более двадцати слов? (Фраза "назовём самое большое число, которое можно описать фразой из не более двадцати слов, Q, и возьмём Q плюс один" состоит из менее 20 слов).

Множество "аналитических чисел" счётно, действительных - континуум. Любое число, которое мы можем описать математически - аналитическое. Если бы мы знали устройство мироздания, масса электрона была бы вычислимой, и тоже стала аналитическим числом, как и число "пи". Значит, она и есть аналитическое число, просто у нас пока недостаточно знаний, чтобы найти формулу для его записи. Получается, что мы принципиально не можем привести пример неаналитического числа и оперировать ими, несмотря на то, что их много больше, чем аналитических (аналитических всего лишь столько же, сколько натуральных). Прямо как "тёмная материя", только в математике. :-)

Где-то здесь близко есть парадокс, причём парадокс, затрагивающий основы теории множеств, но у меня не получается его ухватить.

Это я попытался вспомнить и воспроизвести свои размышления 25-летней давности, когда я был школьником

Парадокс

Ты думаешь, что тут написана неправда.

Если ты с этим согласен, то написана правда, а значит, ты с этим несогласен. Но если несогласен, значит, тут написана правда, т.е. ты с этим согласен.
( вы хотите об этом поговорить? )